חשיבה כמותית — פרק 2 בדפ"ר

90 שניות הן הרבה — אם לא מבזבזים אותן על קריאה שלישית. חלוקה שעובדת: 20 שניות לקרוא ולכתוב מה נתון ומה שואלים, 50 שניות לחשב, 10 שניות לבדוק שעניתם על מה ששאלו, והשניות האחרונות לסמן. שאלה שאחרי 30 שניות עדיין אין לה כיוון — עוברים לשיטה השנייה: מציבים את התשובות. ואם גם זה תקוע ב־60, מסמנים את הסבירה ביותר וממשיכים. שאלה אחת לא שווה את השעון של שתיים.

כל בעיה מילולית היא משוואה שהתחפשה. מתרגמים מילה־מילה: 'הוא' — שווה. 'יותר ב־' — פלוס. 'פי' — כפל. 'מ־' אחרי אחוז — הבסיס. הנעלם הוא תמיד הדבר הקטן ביותר בסיפור, לא מה ששואלים: אם דנה גדולה פי 3 מאחיה, האח הוא x ודנה 3x. ככה המשוואה יוצאת בלי שברים.

לפני שכותבים משוואה, כותבים שורה: 'היום: x, 3x. בעוד 4 שנים: x+4, 3x+4.' השורה הזאת חוסכת את הטעות הנפוצה בשאלות גילים — לשכוח שהזמן עובר על כולם.

אחוז הוא לא מספר, הוא חלק ממשהו — ורוב הטעויות בפרק הן על ה'ממשהו'. 20% הנחה על 400 ש"ח הם 80 ש"ח, אבל 20% מהמחיר החדש הם כבר סכום אחר. לפני כל חישוב מסמנים באצבע את הבסיס: המספר שהאחוז מתייחס אליו.

השיטה המהירה: לא מחשבים את ההנחה ומחסירים, אלא כופלים במקדם. עלייה ב־20% היא ×1.2. הנחה של 20% היא ×0.8. עלייה של 5% היא ×1.05. שני שינויים ברצף הם שני מקדמים ברצף, ולא סכום האחוזים. 1.2 × 0.8 = 0.96 — כלומר ירידה של 4%, ולא אפס.

מחיר, הנחה ורווח הם אותו כלי. רווח של 25% על עלות של 80 ש"ח: 80 × 1.25 = 100. מכירה בהפסד של 10%: ×0.9. וכשנותנים מחיר סופי ושואלים על המקורי — מחלקים במקדם במקום לכפול: מחיר אחרי 20% הנחה הוא 240, המקורי הוא 240 ÷ 0.8 = 300.

ממוצע = סכום ÷ מספר האיברים. זה כל מה שצריך, בתנאי שמשתמשים בו הפוך: ברגע שנתון ממוצע, מכפילים במספר האיברים ומקבלים את הסכום. עם סכומים אפשר לחבר, לחסר ולהשוות. עם ממוצעים לא.

שינוי בממוצע אחרי הוספת איבר: כל איבר קיים 'קיבל' את ההפרש, והאיבר החדש שילם על כולם. 4 תלמידים בממוצע 80, החמישי העלה ל־83 — הוא נתן 3 נקודות לכל אחד מה־4, כלומר 12, ובעצמו הוא 83 + 12 = 95. שתי הדרכים חייבות להיפגש, וזאת הבדיקה.

ממוצע של שתי קבוצות אינו ממוצע הממוצעים, אלא אם הקבוצות באותו גודל. 10 תלמידים בממוצע 60 ו־30 תלמידים בממוצע 80: הסכום הוא 600 + 2,400 = 3,000, המספר 40, הממוצע 75 — ולא 70.

יחס 3:5 לא אומר 3 ו־5 — הוא אומר 3 חלקים ו־5 חלקים מאותו גודל. הנעלם הוא החלק: בנים 3x, בנות 5x, כולם 8x. כל נתון נוסף בשאלה — הסך הכול, ההפרש, אחת הקבוצות — מוצא את x בשורה אחת.

פרופורציה ישירה פותרים בכפל אלכסוני: אם 3 מחברות עולות 12 ש"ח, 7 מחברות עולות 12 × 7 ÷ 3 = 28. פרופורציה הפוכה — יותר פועלים, פחות זמן — פותרים במכפלה קבועה: 4 פועלים × 6 ימים = 24, אז 8 פועלים צריכים 24 ÷ 8 = 3 ימים.

טבלה קטנה היא אותה שאלה עם הנתונים מסודרים. קוראים קודם את הכותרות ואת היחידות, ורק אחר כך את השאלה. רוב השאלות על טבלה שואלות על שורה אחת או על ההפרש בין שתיים — לא צריך לסכם את כל הטבלה כדי לענות.

'ברז ממלא בריכה ב־6 שעות' — הנתון השימושי הוא לא 6, אלא 1/6: החלק מהבריכה שהברז ממלא בשעה. זה ההספק. הספק של שניים שעובדים יחד הוא סכום ההספקים, ואת הזמן מקבלים מהיפוך: זמן = 1 ÷ הספק משותף.

קיצור לשני עובדים: זמן משותף = מכפלה ÷ סכום. 6 ו־4 שעות: 24 ÷ 10 = 2.4 שעות. בדיקה של שנייה: התוצאה חייבת להיות קטנה מהמהיר שבהם. אם יצא לכם יותר מ־4 — חיברתם זמנים במקום הספקים.

כשעובד אחד פורש באמצע, מפצלים לשני שלבים: כמה נעשה עד שפרש, וכמה נשאר לשני לבד. חלקים של בריכה מחברים כמו שברים, ובגלל זה עובדים עם 1/6 ו־1/4 ולא עם 'שעות'.

מהירות = מרחק ÷ זמן, ושתי הצורות האחרות שלה: מרחק = מהירות × זמן, זמן = מרחק ÷ מהירות. לכל קטע דרך מציירים שורה עם 3 עמודות — מהירות, זמן, מרחק — וממלאים 2. השלישית מתקבלת מהנוסחה. הנעלם נכנס לעמודה שחסרה בשתי השורות.

יחידות קודם. 40 דקות אינן 0.4 שעה אלא 2/3 שעה. אם המהירות בקמ"ש והזמן בדקות, ממירים לפני שנוגעים בנוסחה — לא אחרי.

מהירות ממוצעת היא סך המרחק חלקי סך הזמן, לעולם לא ממוצע המהירויות. הלוך ב־20 וחזור ב־30 באותו כביש: המהירות הממוצעת היא 24, לא 25, כי בקטע האיטי מבלים יותר זמן.

הסתברות = מספר המקרים הרצויים ÷ מספר כל המקרים. סופרים את המכנה קודם. שתי קוביות — 36 תוצאות. 3 כדורים אדומים ו־5 כחולים בשקית — 8. אחרי שהמכנה כתוב, המונה הוא ספירה פשוטה.

'לפחות אחד' פותרים דרך ההפך: 1 פחות ההסתברות ש'אף אחד לא'. לפחות 6 אחת בשתי קוביות: ההפך הוא 'אף 6', 5/6 × 5/6 = 25/36, ולכן התשובה 11/36. שני אירועים בלתי תלויים ברצף — כופלים. שני כדורים בלי החזרה — המכנה קטן ב־1 בהוצאה השנייה: שני כחולים מהשקית הם 5/8 ואז 4/7.

קבוצות חופפות: כשמחברים את שתי הקבוצות, מי ששייך לשתיהן נספר פעמיים. הנוסחה: א + ב − שתיהן = לפחות אחת. ואם יש כאלה שלא באף קבוצה, מורידים אותם מהסך הכול לפני שמתחילים. ציור של שני עיגולים חופפים לוקח 5 שניות ומונע את הטעות.

גאומטריה בפרק הזה היא 4 צורות: מלבן — שטח אורך × רוחב, היקף 2 × (אורך + רוחב). ריבוע — צלע בריבוע, היקף 4 × צלע. משולש — בסיס × גובה ÷ 2. מעגל — πr² ו־2πr. הנעלם הוא הצלע, ומה שנתון — ההיקף או היחס בין הצלעות — נותן משוואה אחת.

זמן ולוח שנה: שעה היא 60 דקות, אז 1.5 שעות הן 90 דקות ו־0.4 שעה היא 24 דקות. הפרשי שעות מחשבים דרך שעה עגולה: מ־8:45 עד 11:20 זה 15 דקות עד 9:00, ועוד 2 שעות ו־20 דקות. ימי שבוע נעים במחזור של 7: 30 יום מהיום זה 4 שבועות ועוד 2 ימים, כלומר יומיים קדימה בשבוע.

מחלקים וכפולות: מספר מתחלק ב־3 אם סכום ספרותיו מתחלק ב־3, ב־4 אם 2 הספרות האחרונות מתחלקות ב־4, ב־5 אם הוא מסתיים ב־0 או ב־5. הכפולה המשותפת הקטנה ביותר פותרת כל שאלה של 'מתי ייפגשו שוב' — שני אוטובוסים שיוצאים כל 12 וכל 18 דקות נפגשים כל 36.

4 התשובות הן חלק מהשאלה. כשהשאלה אומרת 'איזה מספר' או 'כמה', מציבים תשובה בסיפור ובודקים אם הוא מסתדר. התשובות כמעט תמיד מסודרות בסדר עולה, אז מתחילים מאחת האמצעיות: אם היא גדולה מדי, נשארות רק הקטנות ממנה. 2 הצבות מכריעות בין 4 תשובות.

הערכה לפני חישוב: מעגלים לעשרות, מחשבים בראש, ומוחקים כל תשובה שרחוקה מהתוצאה. הרבה פעמים נשארת אחת. ועוד סינון בחינם — זוגי או אי־זוגי, מתחלק ב־5 או לא, חייב להיות שלם: תשובה שלא עומדת בתנאי מהשאלה נמחקת בלי לחשב.

בטבלה, הערכה היא השיטה הראשית ולא הגיבוי. 48,000 חלקי 24 זה 2,000 — לא צריך חילוק ארוך. מחשבים כל שורה בקירוב, מסמנים את המנצחת, ורק אם 2 שורות קרובות מדייקים.